Punti razionali su una circonferenza

Questo non è un vero post, ma il testo di un problema da risolvere. Chi pubblicherà la soluzione, riceverà ricchi premi e cotillon. Beh, non proprio grandi premi, ma un regalo sicuramente. Accetto solo soluzioni "carta e penna". Potete postare in fondo (vedi la sezione "Guida al blog") o mandarmi una mail, se non siete nella mia lista spam... Buon divertimento!

Consideriamo una circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1, descritta dall’equazione

x² + y² = 1

Le soluzioni intere, ossia con x e y interi, di questa equazione sono soltanto le coppie (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0,−1). Ci chiediamo: esistono soluzioni razionali di questa equazione? Esistono punti (x, y) sulla circonferenza che hanno per ascissa x e per ordinata y due numeri razionali, cioè due frazioni? Fissiamo un punto razionale sul cerchio, (−1, 0) per esempio. Tracciamo la retta per questo punto di coefficiente angolare t. Questa retta intersecherà il cerchio in un secondo punto (x, y), oltre al punto (−1, 0). Dimostrare che se t è un numero razionale, allora (x, y) ha coordinate razionali. Questa circonferenza è detta anche circonferenza goniometrica: quelli delle classi quarte e quinte dovrebbero riconoscere qualcosa di familiare...
Questo risultato ha validità generale: se C è una conica, tutti i punti razionali su C si trovano fissando un qualunque punto razionale P e individuando le seconde intersezioni di C con una qualunque retta passante per P e avente coefficiente angolare razionale. Non risolvete quest'ultima parte, dovrei regalarvi un motoscafo!

P.S. alla fine, la seconda prova per lo scientifico sarà ancora matematica. "Molto rumore per nulla", avrebbe detto Shakespeare.